Diario 3 Hugo Arellanes
Diario 3
Continuidad de una función
Aprendizaje personal:
La continuidad de una función es una propiedad que describe como se comporta la función en relacion con los valores cercanos de su dominio, una función se considera continua si no presenta saltos, puntos indefinidos o discontinuidades en su grafica.
Aprendizaje complementario:
Más formalmente, una función f(x) se dice continua en un punto “a” si se cumplen tres condiciones:
El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” existe, es decir, los límites laterales en el punto “a” coinciden.
El valor de f(a) está definido.
El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es igual a f(a).
Simplificando, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz, es decir, no tiene agujeros, saltos o interrupciones. Esto implica que la función no tiene discontinuidades abruptas en su gráfica y que los valores de la función se acercan gradualmente a medida que los valores de x se acercan.
Verificar si la función está definida en el punto de interés: Comprueba si el valor de x en el punto dado está dentro del dominio de la función. Si la función no está definida en ese punto, no se puede hablar de continuidad en ese punto.
Evaluar los límites laterales: Calcula el límite de la función cuando x se aproxima al punto de interés desde la izquierda y desde la derecha. Si ambos límites laterales existen y son iguales, es decir, si los límites laterales coinciden, se cumple la primera condición para la continuidad.
Evaluar el valor de la función en el punto: Comprueba si el valor de la función en el punto de interés está definido. Si no está definido, la función no es continua en ese punto.
Comparar el límite con el valor de la función: Verifica si el límite de la función cuando x se acerca al punto de interés es igual al valor de la función en ese punto. Si ambos valores coinciden, se cumple la tercera condición para la continuidad.
Si todos estos pasos se cumplen, entonces la función es continua en el punto “a”.
Para determinar si la función es continua en todo su dominio, debes repetir estos pasos para cada punto dentro del dominio. Como estudiar la continuidad en infinitos puntos es materialmente imposible, para estudiar la continuidad en el dominio de una función debemos aprender reglas para las diferentes funciones para saber directamente en qué puntos podemos o no encontrar discontinuidades, y estudiar solo estos puntos.
Cada tipo de discontinuidad implica un comportamiento particular en un punto o en un conjunto de puntos de una función, siendo los principales tipos los siguientes:
Discontinuidad evitable o punto removible: Ocurre cuando la función tiene un agujero o un hueco en un punto específico, pero se puede “rellenar” o corregir asignando un valor adecuado en ese punto. Matemáticamente, esto ocurre cuando los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no.
Discontinuidad inevitable de salto finito: Ocurre cuando la función tiene un salto abrupto en un punto. En este tipo de discontinuidad, los límites laterales existen en el punto, pero no son iguales, provocando una interrupción o salto en la gráfica de la función.
Discontinuidad inevitable de salto infinito: Ocurre cuando la función tiene al menos un límite lateral infinito o menos infinito en un punto. Esto genera una discontinuidad vertical en la gráfica de la función y una posterior asíntota vertical.
Es importante tener en cuenta que, en la práctica, las funciones pueden tener combinaciones de estos tipos de discontinuidades y pueden presentar comportamientos más complicados.
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