Diario Maximos y minimos de una funcion

Hugo Arellanes Meza

16/Agosto/2024

Aprendizaje personal:

Estudiar los máximos y mininos de una función en calculo es fundamental para entender el comportamiento de las funciones matemáticas,

Nos enseña a analizar como cambian las cosas en en respuesta a las variaciones. Así como una función puede tener puntos donde alcanza su mayor o menor valor local.

Aprendizaje complementario:

Las matemáticas nos permiten entender y describir el mundo que nos rodea de maneras fascinantes. Una de las herramientas más poderosas que tenemos en matemáticas es el estudio de las funciones y un aspecto importante de las funciones es identificar sus máximos y mínimos, algo que es posible con el uso del cálculo diferencial.

Los máximos y los mínimos nos indican los valores más altos y más bajos que una función puede alcanzar y tienen aplicaciones en muchas áreas, desde la economía hasta la ingeniería. En esta publicación comprenderemos con exactitud estos conceptos y analizaremos el procedimiento para calcular dichos puntos.

¿Qué son los máximos y mínimos de una función?

La determinación del máximo y mínimo de una función es una de las aplicaciones de la derivadas con mayor importancia, veamos en qué consiste:

Se entiende por máximo o mínimo al valor mas grande o valor mas pequeño que puede adquirir una función en un punto de su gráfica.

Imagina una montaña y un valle. El punto más alto de la montaña sería un máximo, mientras que el punto más bajo del valle sería un mínimo. De manera similar, en una función matemática, el máximo es el valor más alto que puede alcanzar la función en un intervalo, y el mínimo es el valor más bajo.

Existen dos tipos de máximos y mínimos: absolutos y relativos. Los máximos y mínimos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio de la función. Por otro lado, los máximos y mínimos relativos son los puntos más altos y más bajos en una región específica del dominio de la función.

máximos y mínimos de la función

En la gráfica anterior, los puntos P1, P2, P3, Q1, Q2 y Q3 representan los puntos críticos de cada función y al mismo tiempo según el caso:

P1 es el punto máximo absoluto de la primera función
P2 es un mínimo relativo
P3 es un máximo relativo
Q1 es un mínimo relativo
Q2 es un máximo relativo
Q3 es un mínimo absoluto de la segunda función

¿Para qué sirven los máximos y mínimos de una función?

Los máximos y mínimos de una función son extremadamente útiles en muchas situaciones del mundo real. Por ejemplo, si una empresa quiere maximizar sus ganancias, necesitará encontrar el punto máximo de una función que represente sus beneficios. Del mismo modo, si un ingeniero quiere minimizar el costo de producción, necesitará encontrar el punto mínimo de una función que represente los costos.

Además, en ciencias naturales, los máximos y mínimos nos ayudan a entender fenómenos como las fluctuaciones de temperatura, el comportamiento de los animales y muchos otros aspectos de la naturaleza. Identificar estos puntos críticos es esencial para hacer predicciones y tomar decisiones informadas.

¿Qué son los puntos críticos de una función?

Para encontrar los máximos y mínimos de una función, primero debemos identificar los puntos críticos. Un punto crítico de una función es un valor de la variable donde la derivada de la función es cero o no existe. En otras palabras, son los puntos donde la pendiente de la curva de la función se aplana o cambia de dirección.

Por ejemplo, si tenemos una función $f(x)$ , los puntos críticos se encuentran resolviendo la ecuación $f'(x) = 0$ . Estos puntos son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión (donde la curva cambia de concavidad).

Criterios para determinar máximos y mínimos de una función

Una vez que hemos identificado los puntos críticos, necesitamos determinar si cada uno de ellos es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Para ello, utilizamos dos criterios principales: el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada.

El criterio de la primera derivada nos dice que si la derivada de la función cambia de positiva a negativa en un punto crítico, entonces ese punto es un máximo. Si la derivada cambia de negativa a positiva, entonces ese punto es un mínimo.

El criterio de la segunda derivada implica que si la segunda derivada de la función es positiva en un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo, porque la función es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto es un máximo, porque la función es cóncava hacia abajo.

¿Cómo calcular los máximos y mínimos de una función?

Para calcular los máximos y mínimos de una función, seguimos un proceso en varios pasos. Primero, derivamos la función para encontrar su derivada. Luego, resolvemos la ecuación de la derivada igualada a cero para encontrar los puntos críticos.

Después, usamos el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si cada punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Finalmente, evaluamos la función en estos puntos para encontrar los valores de los máximos y mínimos.

Ejercicios del calculo del máximo y mínimo de una función

Calcular el máximo y mínimo de las siguientes funciones:

Ejercicio 1.

$f(x)=4x^{2}-2x$

Solución

en primer lugar calculamos la deriva de la función

$f(x)'=4x^{2}'-2x'$

$f(x)'=8x-2$

seguidamente igualamos la primera derivada a cero para obtener el valor de X;

$0=8x-2$

$2/8=x$

$x=1/4$

este valor lo sustituimos en la función original, de esta forma conseguir un punto critico, el cual todavía no esta definido como máximo o mínimo;

$f(1/4)=4x^{2}-2x$

$f(1/4)=4(1/4)^{2}-2(1/4)$

$f(1/4)=(1/4)-(1/2)$

$f(1/4)=-1/4$

$(\frac{1}{4},\frac{-1}{4})$

finalmente para determinar si este punto es máximo o mínimo, calculamos la segunda derivada de la función;

$f(x)'=8x-2$

$f(x)''=(8x)'-(2)'$

$f(x)''=8$

Sustituimos el valor de X en la segunda derivada;

$f(1/4)''=8$

Como el resultado es positivo, se dice, que el punto critico es un mínimo.

Es importante acotar, que existe otra forma de establecer si el punto critico es máximo o mínimo, este consiste en seleccionar dos valores, uno a ambos lado del valor de X, sustituyéndolos en la primera derivada. Si el resultado de esta sustitución es negativo, se dice que la función es decreciente, si por el contrario es positivo la función es creciente.

El comportamiento de la función a ambos lados del punto crítico, es lo que definirá si es un máximo o un mínimo.

https://calculodiferencial.com/maximos-y-minimo-de-una-funcion/

https://www.youtube.com/watch?v=ppI4NKTScxw

https://www.youtube.com/watch?v=dVBWSsob7h8

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