Diario 2

Coeficientes indeterminados - Método por superposición.

Hugo Arellanes Meza

01-Abril-2025

Aprendizaje personal.

Este tema destaca la importancia de comprender cómo las soluciones particulares de una ecuación diferencial pueden construirse a partir de funciones base. Este método enseña que, al enfrentar una ecuación diferencial no homogénea, puedes aprovechar la estructura de la función no homogénea para plantear una solución tentativa con coeficientes desconocidos.

Además, la superposición muestra cómo las soluciones de diferentes términos no homogéneos pueden combinarse, reflejando la linealidad del sistema. Este enfoque no solo desarrolla la intuición sobre cómo funcionan las ecuaciones diferenciales, sino que también fortalece la habilidad para identificar patrones en soluciones y resolver problemas complejos de manera ordenada y eficiente.

Aprendizaje Complementario.

Consideremos una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden superior y con coeficientes consta,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+ay=h(x).$

Como tenemos una combinación lineal de las derivadas de $y$ igual a $h(x)$ es lógico pensar que la solución de la ecuación diferencial tiene una forma similar de $h(x)$ . El método de superposición tiene como premisa la idea anterior, así pues, este método consiste en suponer una solución de la ecuación diferencial con una estructura similar a $h(x)$ .

Podemos notar que el método posee una gran limitación al suponer una solución con una estructura similar a $h(x)$ , por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que podemos solucionar por este método están restringidas a la forma que pueda llegar a tomar $h(x)$ .

Restricciones del métodos

Estas son las restricciones que se presentan en el método:

Los coeficientes de la ecuación diferencial tienen que ser constantes.
Las estructura de deben ser:
- Constante
  - $h(x)=3, \hspace{0.5cm} h(x)=\pi,\hspace{0.5cm} h(x)=29.5$
- Polinomial
  - $h(x)=x+1, \hspace{0.5cm} h(x)=x^{2}+2x+1,\hspace{0.5cm} h(x)=7x^{5}+8x^{2}+9$
- Exponencial
  - $h(x)=e^{3x}, \hspace{0.5cm} h(x)=e^{2.71x},\hspace{0.5cm} h(x)=e^{\frac{x}{2}}$
- Trigonométrica
  - $h(x)=\sin(2x), \hspace{0.5cm} h(x)=\cos(\pi x),\hspace{0.5cm} h(x)=\sin(\frac{x}{4})$
    Nota: el método solo admite funciones trigonométricas $\sin$ y $\cos$

Es importante mencionar que el método también admite las diferentes combinaciones en suma y multiplicación que se pueden presentar entre las funciones mencionadas anteriormente, ejemplo:

$h(x)=e^{3x}(7x^{5}+8x^{2}+9)$

$h(x)=e^{3x}\sin(2x)$

Solución general

Recordemos que una solución general de una ecuación diferencial no homogénea corresponde a la superposición de dos soluciones, una solución homogénea $y_{h}$ y una solución particular $y_{p}$ . La solución homogénea es claramente el caso donde $h(x)=0$ y la solución particular es cuando tenemos una o varias de las funciones posibles que puede llegar a tomar $h(x)$ .

$y=y_{h}+y_{p}$

Si $h(x)=0$ se supone una solución en la forma $e^{mx}$ y si $h(x)$ toma una de las estructuras factibles mencionadas anteriormente, se supone una solución en forma general de la estructura de $h(x)$ , ejemplo:

Si tenemos que:

- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax+B$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ae^{\alpha x}$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)$ .

Definida la forma de la solución particular $y_{p}$ , reemplazamos la función en la ecuación diferencial y posteriormente determinamos los valores de las constantes de la solución $y_{p}$ planteada.

Veamos una tabla con algunas de las posibles soluciones particulares:

Ejemplo resuelto

Determinar la solución particular de la ecuación diferencial $y''+4y-2y=2x^2-3x+6$

Lo primero que tenemos que hacer es determinar la solución homogénea $y_{h}$ , por lo cual, $h(x)=2x^2-3x+6=0$ :

$y''+4y'-2y=0$

Suponemos una solución exponencial $y=e^{mx}$ y reemplazamos en la ecuación diferencial

$y'=me^{mx},$

$y''=m^{2}e^{mx}.$

Así pues,

$m^{2}e^{mx}+4(me^{mx})-2e^{mx}=0,$

sacamos factor común $e^{mx}$

$e^{mx}(m^{2}+4m-2)=0\longrightarrow m^{2}+4m-2=0;$

como $a=1$ , $b=4$ y $c=-2$

$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Las raíces de la ecuación característica son $m_{1}=-2+\sqrt{6}$ y $m_{2}=-2-\sqrt{6}$ , dado las soluciones

$y_{1}=e^{m_{1}x}\longrightarrow y_{1}=e^{(-2+\sqrt{6})x}$

$y_{2}=e^{m_{2}x}\longrightarrow y_{1}=e^{(-2-\sqrt{6})x}$

Dado que $y_{1}$ y $y_{2}$ son L.I $y_{h}$ es una combinación lineal de $y_{1}$ y $y_{2}$ .

$\boxed{y=c_{1}e^{(-2+\sqrt{6})x}+c_{2}e^{(-2-\sqrt{6})x}}$

Ahora encontremos la solución particular $y_{p}$ :

$y''+4y-2y=2x^2-3x+6$

Dada la ecuación diferencial, podemos notar que $h(x)=2x^2-3x+6$ , así pues, consideramos una solución particular $y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$ y encontremos su primera y segunda derivada: