Diario 2

Solución de ecuaciones diferenciales y valor inicial..

Hugo Arellanes Meza

21-Enero-2025

Aprendizaje personal:

Al comenzar a ver este tema, al principió se me complico entender el procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones y comprobar si la solución propuesta satisface o no la ecuación diferencial, ya resolviendo varios ejercicios durante la clase fui comprendiendo paso a paso como comprobar si la solución propuesta satisface o no la ecuación diferencial.

Aprendizaje complementario:

Ecuaciones diferenciales generales

Considere la ecuación $y^{'} = 3 x^{2},$ que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables $x$ como $y : y$ es una función desconocida de $x .$ Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $y .$ Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: Comience con alguna función $y = f (x)$ y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a $3 x^{2} .$ ¿Qué función tiene una derivada que es igual a $3 x^{2} ?$ Una de estas funciones es $y = x^{3},$ por lo que esta función se considera una solución a una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función desconocida $y = f (x)$ y una o varias de sus derivadas. Una solución de una ecuación diferencial es una función $y = f (x)$ que satisface la ecuación diferencial cuando $f$ y sus derivadas se sustituyen en la ecuación.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones aparecen:

Tabla 4.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones

Observe que una solución de una ecuación diferencial no es necesariamente única, principalmente porque la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, $y = x^{2} + 4$ es también una solución de la primera ecuación diferencial en la Tabla 4.1. Volveremos a esta idea un poco más adelante en esta sección. Por ahora, vamos a centrarnos en lo que significa que una función sea una solución de una ecuación diferencial.

Es conveniente definir características de las ecuaciones diferenciales que faciliten hablar de ellas y clasificarlas. La característica más básica de una ecuación diferencial es su orden.

Soluciones generales y particulares

Ya hemos señalado que la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x$ tiene al menos dos soluciones: $y = x^{2}$ y $y = x^{2} + 4 .$ La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Y si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución de la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma $y = x^{2} + C,$ donde $C$ representa cualquier constante, es también una solución. La razón es que la derivada de $x^{2} + C$ es $2 x,$ independientemente del valor de $C .$ Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe ser de la forma $y = x^{2} + C .$ Este es un ejemplo de solución general de una ecuación diferencial. Un gráfico de algunas de estas soluciones se ofrece en la Figura 4.2. (Nota: En este gráfico hemos utilizado valores enteros pares para $C$ , que oscila entre $−4$ y $4 .$ De hecho, no hay ninguna restricción en el valor de $C;$ puede ser un número entero o no).

En este ejemplo, somos libres de elegir cualquier solución que deseemos; por ejemplo,

y = x^{2} - 3

es un miembro de la familia de soluciones de esta ecuación diferencial. Esto se llama una solución particular de la ecuación diferencial. A menudo se puede identificar una solución concreta de forma exclusiva si se nos da información adicional sobre el problema.

Problemas de valor inicial

Normalmente, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntarse cuál queremos utilizar. Para elegir una solución, se necesita más información. Una información específica que puede ser útil es un valor inicial, que es un par ordenado que se utiliza para hallar una solución particular.

Una ecuación diferencial con uno o varios valores iniciales se denomina problema de valor inicial. La regla general es que el número de valores iniciales necesarios para un problema de valor inicial es igual al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial $y^{'} = 2 x,$ entonces $y (3) = 7$ es un valor inicial, y cuando se toman juntas, estas ecuaciones forman un problema de valor inicial. La ecuación diferencial $y ″ - 3 y^{'} + 2 y = 4 e^{x}$ es de segundo orden, por lo que necesitamos dos valores iniciales. En los problemas de valor inicial de orden superior a uno, se debe utilizar el mismo valor para la variable independiente. Un ejemplo de valores iniciales para esta ecuación de segundo orden sería $y (0) = 2$ y $y^{'} (0) = −1 .$ Estos dos valores iniciales junto con la ecuación diferencial forman un problema de valor inicial. Estos problemas se llaman así porque a menudo la variable independiente de la función desconocida es $t,$ que representa el tiempo. Así, un valor de $t = 0$ representa el principio del problema.

En el Ejemplo 4.4, el problema de valor inicial constaba de dos partes. La primera parte era la ecuación diferencial $y^{'} + 2 y = 3 e^{x},$ y la segunda parte era el valor inicial $y (0) = 3 .$ Estas dos ecuaciones forman en conjunto el problema de valor inicial.

Lo mismo ocurre en general. Un problema de valor inicial constará de dos partes: la ecuación diferencial y la condición inicial. La ecuación diferencial tiene una familia de soluciones, y la condición inicial determina el valor de $C .$ La familia de soluciones de la ecuación diferencial en el Ejemplo 4.4 está dada por $y = 2 e^{−2 t} + C e^{t} .$ Esta familia de soluciones se muestra en la Figura 4.3, con la solución particular $y = 2 e^{−2 t} + e^{t}$ marcada.