Separación de variables.

Hugo Arellanes Meza

04-Febrero-2025

Aprendizaje personal:

El cambio de variables nos permite simplificar una integral que inicialmente parecía complicada. Elegir una sustitución adecuada, hace que la integral sea mucho más fácil de resolver. Esta técnica es muy útil no solo en integrales, sino también en la resolución de ecuaciones diferenciales más complejas.

Aprendizaje complementario:

La Separación de Variables es un método especial para resolver algunas ecuaciones diferenciales

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dydx  

¿Cuándo se puede usar?

La separación de variables se puede utilizar cuando:

se pueden mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y

todos los términos x (incluido dx) al otro lado.

Método

Consiste en tres pasos:

• Paso 1 Mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y todos los términos x (incluido dx) al otro lado.
• Paso 2 Integrar un lado con respecto a y y el otro lado con respecto a x. No olvides "+ C" (la constante de integración).
• Paso 3 Simplificar

Ejemplo: Resuelve esto (k es una constante):

  dydx = ky

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx: dy = ky dx

Divide ambos lados por y:dyy = k dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración:∫ dyy = ∫ k dx

Integra el lado izquierdo: ln(y) + C = ∫ k dx

Integra el lado derecho: ln(y) + C = kx + D

C es una constante de integración. Y usamos D para la otra, ya que es una constante diferente.

 

Paso 3 Simplifica:

Podemos combinar ambas constantes (a=D−C): ln(y) = kx + a

e^(ln(y)) = y , así que podemos usar una propiedad de  exponentes/logaritmos en ambos lados:y = e^{kx + a}

Y además podemos separar e^{kx + a} = e^kx e^a, así que:y = e^kx e^a

e^a es solo una constante, así que la reemplazamos con c:y = ce^kx

La hemos resuelto:

y = ce^kx

Bien, vamos a ver algunos ejemplos diferentes de separación de variables:

Ejemplo: Resuelve:

dydx = 1y

 

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx:dy = (1/y) dx

Multiplica ambos lados por y:y dy = dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración:∫ y dy = ∫ dx

Integra cada lado: (y²)/2 = x + C

Integramos ambos lados en un solo paso.

También usamos un atajo al usar solo una constante de integración C. Esto es perfectamente válido ya que podríamos tener +D en una, +E en la otra y simplemente decir que C = E−D.

 

Paso 3 Simplifica:

Multiplica ambos lados por 2:y² = 2(x + C)

Raíz cuadrada en ambos lados:y = ±√(2(x + C))

Nota: Esto no es lo mismo que y = √(2x) + C, porque la C se agregó antes de sacar la raíz cuadrada. Esto sucede mucho con las ecuaciones diferenciales. No podemos simplemente agregar la C al final del proceso. Se agrega al hacer la integración.

La hemos solucionado:

y = ±√(2(x + C))

Un ejemplo más difícil:

Ejemplo: Resuelve:

dydx = 2xy1+x²

 

Paso 1 Separa las variables:

Multiplica ambos lados por dx, divide ambos lados por y:

1y dy = 2x1+x²dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

∫1y dy = ∫2x1+x²dx

El lado izquierdo es un logaritmo simple, y el lado derecho se puede integrar mediante sustitución:

Sea u = 1 + x², por lo que du = 2x dx:∫1y dy = ∫1udu

Integra:ln(y) = ln(u) + C

Luego hacemos C = ln(k):ln(y) = ln(u) + ln(k)

Así que tenemos:y = uk

Ahora sustituye de vuelta u = 1 + x²:y = k(1 + x²)

 

Paso 3 Simplifica:

Ya es tan simple como puede ser. La hemos solucionado:

y = k(1 + x²)

https://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/separacion-variables.html

https://www.youtube.com/watch?v=BHUofR3j9PM

https://m.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U&t=405s